Point de départ de cet épisode de nos voyages au pays des maths: le cadre trivial d’un supermarché où un vaste complot mathématique semble se tramer. On découvrira grâce à la loi de Benford deux façons de mesurer le monde et une autre façon de voir les choses.
Point de départ de cet épisode de nos voyages au pays des maths : le paradoxe de Zénon. Ou la vitesse n'est-elle finalement qu'une suite de moments immobiles ? Grâce à Newton et Leibniz, les rivaux de la dérivée, on ira découvrir- sans se presser- le calcul infinitésimal et différentiel. Et comment, derrière tout mouvement, se cache du fixe.
Dans cet épisode de nos voyages au pays des maths, on fait escale dans le monde étrange de la topologie pour décrypter la fameuse conjecture de Poincaré.Où l'on entendra parler de donuts, de ronds qui sont aussi des carrés et de million de dollars.
Dans cet épisode de nos voyages au pays des maths, on met le cap vers l'Infini. Et même au-delà, car l’infini existe en plusieurs tailles. Si, si. Des contrées vertigineuses où Georg Kantor et sa théorie des ensembles nous donneront un sérieux coup de pouce pour nous y retrouver.
Case départ de cet épisode de nos voyages au pays des maths : la prison. Deux prisonniers doivent choisir entre coopération et trahison sans se concerter. C'est le fameux dilemme qui nous emmènera au coeur de la théorie des jeux et nous fera réfléchir mathématiquement à une question très philosophique : a-t-on intérêt à collaborer ?
Dans cet épisode, on se penche sur le rapport entre maths et vérité. Les maths sont censées être le domaine de la certitude : soit c’est démontrable, soit c’est faux. Eh bien ce n'est pas si simple. Car le théorème de Gödel a prouvé qu'il existe des propositions « indécidables », qu’on ne peut ni prouver ni réfuter. Premier résultat limitant de l'histoire des mathématiques...
Au programme de ce voyage : le jeu de la vie. Un jeu certes, mais qui permet de mieux comprendre la façon dont un système complexe peut émerger à partir de quelque chose de plus simple. On appelle cela "l'émergence" et l'histoire rappelle un peu celle de notre Univers. On rencontrera aussi différents profils de mathématiciens dont un très joueur !
On part cette fois dans une région beaucoup plus accidentée que prévue : celle des nombres. Il y a 25 siècles, le monde bien ordonné des entiers naturels et des fractions a dû s’élargir pour accueillir des monstres comme pi et √2. Une vertigineuse expédition mathématique où l'on réalisera que les nombres de la vraie vie ne sont que la partie émergée de l'iceberg.
Les nombres irrationnels n'ont plus de secret pour vous ? Alors on met le cap sur un lieu de pique-nique un peu compliqué à atteindre.On sait depuis longtemps que certaines équations ont pour solutions des nombres qui n’existent pas. Heureusement, une flopée de mathématiciens a mis au jour un nouveau domaine des nombres -les complexes- dont on ne peut plus se passer.
Fin des voyages au pays des maths avec une randonnée ardue. Mieux vaut avoir bien pris des forces sur le plan complexe. Car il s'agit d'un mystère non-résolu des mathématiques, à savoir : la répartition des nombres premiers. Riemann a fait une hypothèse considérée comme valide mais toujours pas prouvée, c'est dire que ce n'est pas une promenade de santé. Allons-y doucement...
Avec le problème de Monty Hall, on s'aventure à travers un jeu télévisé des années 60 sur le terrain des probabilités. En ayant à choisir entre trois portes, on découvrira comment une information acquise en cours de jeu peut modifier les statistiques de gain. Et qu'une question de probabilités, résolue en théorie, peut faire l’objet de débats passionnés.
Dans la région des statistiques, on collecte et on traite des données pour tenter de maîtriser la complexité du monde réel et d'appréhender des phénomènes de masse. Un bastion de rationalité qui comporte pourtant des replis étranges où se glissent de nombreux biais et paradoxes, comme celui de Simpson, pouvant fausser des conclusions qui semblaient objectives
Durant des siècles, la géométrie a reposé sur les axiomes d’Euclide qui paraissaient irrévocables. Mais à force de se casser les dents sur le cinquième, des mathématiciens ont émis au XIXe siècle l'idée révolutionnaire qu'il pouvait... être faux. C’est l’acte de naissance des "géométries non-euclidiennes" qui vont repousser comme jamais les frontières du pays des maths.
Expédition dans un magasin de carrelages pas tout à fait comme les autres pour paver votre salle de bain. Un pavage c’est une façon de couvrir un plan avec un motif répétitif. Cela devrait aller vite, il n'y a pas cinquante possibilités... Pas si simple : le choix est certes limité, mais il n'en reste pas moins large et la liste des possibles ne cesse de s'allonger !
Toute la question est de savoir comment faire un réseau "économique" et "robuste", mais qui ne prenne pas trop de place. Elle peut aussi bien concerner un réseau informatique que le cerveau humain. Ce qui nous amène dans la zone peu explorée à la frontière entre mathématique et biologie.
Au départ, il y a les cinq « solides platoniciens » bien-aimés des géomètres : le cube, le tétraèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Mais pourquoi s’arrêter aux 3 dimensions de l’espace ordinaire ? Alicia Boole Stott a consacré sa vie à chercher des solides réguliers en dimension 4… et elle a trouvé ! Voyage dans des régions mathématiques insoupçonnées par notre esprit.
Quand les mathématiques nous renseignent sur la meilleure façon d'empiler ses oranges... Formulée en 1611, la conjecture de Kepler finira par être prouvée par Thomas Hales... en 1998 ! Grâce à des méthodes informatiques peu orthodoxes pour ses collègues. La certification des démonstrations mathématiques est un chemin ardu et fastidieux.
Le battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas ? Derrière la trop célèbre question posée par Edward Lorenz , il y a une théorie mathématique de ce qu'on n'imaginait pas jusque là appartenir au pays des maths : les systèmes complexes comme ceux qui décrivent la météo ou encore… les affaires humaines !
Comment modéliser le mouvement d'une patate dans l'espace ? Plusieurs mathématiciens s'y sont cassés les dents. La mathématicienne Sofia Kovalevskaya a fini par obtenir à la fin du XIXe siècle un résultat important pour déterminer le mouvement d’un solide autour d’un point fixe, grâce à une toupie très spéciale. Petite expédition au coeur des systèmes intégrables, même si cela donne un peu le tournis...
Imaginez un monde où une machine pourrait calculer le vrai et le faux... Á défaut, Church, Herbrand, Gödel et Turing ont tenté chacun à leur manière de déterminer si un algorithme pouvait trancher qu'on peut démontrer ou pas une assertion mathématique. L'Entscheidungsproblem, le problème de la décision, qui a fait tanguer les maths et, au passage, posé les bases de l'informatique.
